Universalité et localité en mathématiques
 
Ivar Ekeland
 
 
Dans la tradition occidentale, les mathématiques sont conçues comme une découverte intellectuelle, un corpus de propositions vraies, qui s’accroît régulièrement par l’effort des chercheurs. Dans cette conception, les mathématiques sont un savoir qui se distingue des autres par le fait qu’il se refuse à recourir au témoignage des sens, et accepte comme seul critère de vérité la rigueur logique. Seules quelques propositions mathématiques sont acceptées sans démonstration : les axiomes. Toutes les autres propositions doivent être démontrées, c’est-à-dire déduites des axiomes ou d’autres propositions antérieurement démontrées par l’application de règles logiques strictement codifiées.
De ce point de vue, on peut voir en les mathématiques une vaste tautologie: les dizaines de milliers de théorèmes produits chaque année ne font que déployer l’information contenue dans les quelques axiomes fondamentaux, qui eux-mêmes ne font que formaliser la connaissance intuitive que nous avons de l’espace ou des nombres. Malheureusement, cette information est dissimulée, et pour la faire monter au jour, il faut un travail intellectuel immense, poursuivi depuis l’Antiquité grecque. Le mathématicien est une sorte de joueur d’échecs, qui tourne en permanence dans sa tête les théorèmes déjà démontrés, et cherche si l’on ne peut en démontrer de nouveaux en combinant de manière astucieuse les anciens.
Il semblerait donc que les mathématiques soient universelles par nature. Rien dans les écrits d’un mathématicien ne permet de déceler son origine ou sa culture. Les théorèmes découverts par les Grecs nous ont été transmis par les Arabes sans que les altèrent les traductions successives. Ils étaient vrais il y a deux mille ans, ils le sont toujours aujourd’hui. La source de cette universalité, unique dans les activités humaines, est problématique. On peut y voir le reflet d’un monde idéal qui existerait en dehors de notre perception sensorielle, ou, au contraire, une structure fondamentale de l’esprit humain, une sorte de grammaire universelle.
 
Mais il existe une autre conception des mathématiques, concurrente de la première, et qui a bénéficié au vingtième siècle de cet extraordinaire outil qu’est l’ordinateur. Cette fois, le développement des mathématiques n’est plus purement interne, mais guidé par le développement des autres sciences. Les systèmes physiques, biologiques, ou économiques sont transposés dans un modèle mathématique. Le comportement du système dans des contextes différents peut alors être déduit d’une analyse mathématique du modèle, ou d’une simulation informatique. C’est ainsi, par exemple, que l’ordinateur a depuis longtemps remplacé la soufflerie dans la conception des voitures ou des avions. La troisième phase, après la modélisation et la simulation, est l’optimisation : parmi toutes les possibilités, il s’agit de repérer la meilleure. C’est le travail de l’ingénieur, qui cherche à construire le pont le plus solide dans les contraintes imposées, ou de l’économiste, qui essaie de trouver le meilleur barème d’imposition.
Suivant cette conception, les mathématiques ne sont que le langage commun de la science, que chacun développe suivant ses propres besoins. Plus d’universalité alors, mais une floraison de cultures, comme une même souche a donné le français de France, les créoles et le québécois. Maintenant, c’est la localité qui prime. Voici longtemps que les physiciens ont développé leurs propres mathématiques, en relâchant les critères de rigueur auxquels les mathématiciens purs tiennent tellement, et les biologistes leur emboîtent le pas. Tout cela est possible, car les mathématiques sont un édifice immense, qui continue à grandir dans toutes les directions, et il n’y a pas de limite naturelle au nombre de théorèmes que pourra produire l’humanité. Le problème est de diriger les efforts dans les directions jugées intéressantes : historiquement, le développement des mathématiques a été très profondément influencé par les préoccupations des physiciens, et il n’y a aucune raison de penser qu’il n’en soit pas de même pour les biologistes et les économistes.
 
Les mathématiques sont tiraillées entre ces deux conceptions. D’une part, un édifice monolithique, un développement exhaustif et cohérent des conséquences logiques de quelques axiomes. D’autre part, une boîte à outils intellectuelle, où chacun va chercher de quoi bricoler pour aménager ses connaissances. D’une part, l’universalité, de l’autre la localité.
Comme toujours, il faut tenir les deux bouts : la tentation existe de se réfugier d’un côté ou de l’autre, mais elle conduit à une impasse. De ce point de vue, les mathématiques ne font que réfléchir les problèmes généraux de l’organisation du savoir : comment présenter un corps structuré un amas de connaissances en devenir permanent ? Deux siècles après l’Encyclopédie, un groupe de mathématiciens français s’est lancé dans une tentative analogue : présenter l’ensemble des mathématiques de manière raisonnée et cohérente. C’était le groupe Bourbaki, qui sortit effectivement un certain nombre de volumes, tous précédés de l’avertissement : « Le traité prend les mathématiques à leur début et donne des démonstrations complètes. Il ne suppose donc aucune connaissance mathématique particulière. »
L’entreprise Bourbaki est aujourd’hui en sommeil, faire une encyclopédie des mathématiques aujourd’hui est aussi facile que de ramener de l’eau dans un filet. Il semble que l’on ne puisse vraiment comprendre que ce qui est mort, et les mathématiques sont aujourd’hui extraordinairement vivantes.