[Alliage] [Up] [Help] [Science Tribune]

ALLIAGE


Alliage, numéro 33-34, 1998


Le mathématicien artiste



Michele Emmer




Traditionnellement, les mathématiciens s'intéressent aux rapports de leur discipline avec l'art, soit pour la beauté des mathématiques, soit pour une mathématique de la beauté. G. H. Hardy a écrit : " Les formes du mathématicien, comme celles du peintre ou du poète, doivent être belles ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s'ajuster harmonieusement. La beauté est le critère premier : il n'y a pas de place durable dans le monde pour des mathématiques laides " (1). Dans un texte intitulé " La beauté en mathématiques ", François Le Lionnais remarquait : " C'est ainsi que la beauté se déploie en mathématiques comme dans les autres sciences, comme dans les arts, comme dans la vie et comme dans la nature. Parfois comparable à celle de la musique pure, de la grande peinture ou de la poésie, les émotions qu'elle éveille sont le plus souvent d'une nature différente, qui ne peut guère se comprendre lorsqu'on n'en a pas ressenti en soi-même l'illumination " (2).
Les mathématiciens se sont intéressés à la beauté de leur discipline mais aussi, à maintes reprises, à la Beauté, en en formulant des théories mathématiques, dans l'espoir, comme l'a souligné René Thom, " de retrouver par-delà les activités a priori si différentes du savant et de l'artiste, une origine commune " (3).
Morris Kline fait remarquer que c'est là un problème délicat : " La vérification définitive d'une oeuvre d'art consiste en sa contribution au plaisir esthétique ou à la beauté. Heureusement, ou malheureusement, il s'agit d'une vérification subjective, qui dépend aussi du degré de connaissance dans un secteur déterminé. à la question de savoir si les mathématiques ont, ou non, une beauté intrinsèque, seuls ceux qui ont une culture en ce domaine peuvent répondre" (4).

Les mathématiques et l'art

Le mathématicien George Francis fait observer qu'il existe un art implicitement mathématique et un art explicitement mathématique : " Dans le premier, le contenu ou le sens mathématique se trouve surtout dans l'oeil de l'observateur. L'artiste n'a pas intentionnellement exprimé de façon esthétique des idées mathématiques. L'emploi de sphères, de polyèdres réguliers, ou de la symétrie spatiale, ne signifie pas que l'artiste ait voulu donner un sens mathématique à son oeuvre. "5 Pour Francis, la question est : l'artiste veut-il évoquer des images mathématiques, ou le sujet même de l'oeuvre est-il mathématique ? Un artiste pourrait être vraiment inspiré par un résultat mathématique. Dans ce cas, l'évocation du théorème qui l'a inspiré n'est perceptible qu'au mathématicien. Francis cite comme exemple l'oeuvre du mathématicien Anatoly T. Fomenko (6).
Il faut immédiatement libérer l'esprit de deux genres de considérations. La première serait l'idée, grâce à l'étude mathématique des structures esthétiques, comme l'a remarqué Ugo Volli dans son essai " Matematica e valori estetici " (7) de fournir une sorte de recette pour obtenir des objets esthétiques, ou un instrument unique, en outre exact (puisque mathématique), pour comprendre et évaluer une oeuvre d'art. L'autre consiste à réduire toute la question à un simple problème de mesure afin de trouver dans les oeuvres d'art des rapports plus ou moins harmoniques. La théorie des proportions est l'une des idées, généralement considérée comme fondamentale par les historiciens de l'art, sur les rapports de l'art et des mathématiques.
Le mathématicien George David Birkhoff essaye ainsi de donner une formule claire de la sensation de plaisir esthétique dans son long traité A Mathematical Approach to Aesthetics. La légitimité d'une esthétique mathématique se fonde sur l'observation que tous les phénomènes psychologiques et sociaux semblent révéler à l'Homo mathematicus des structures logiques, et " qu'il est amené à croire qu'un progrès ultérieur ne pourra être accompli que lorsque se seront développés des concepts et des méthodes mathématiques plus adéquats. Le vaste domaine de la pensée mathématique témoigne d'une manière irréfutable que le monde objectif comme le monde subjectif ont une nature mathématique" (8). De là, il déduit qu'en esthétique, on peut reconnaître et quantifier un ordre de type mathématique déterminé par des facteurs comme la symétrie, la rotation, l'équilibre, la simplicité. En réalité, les idées de Birkhoff laissent ouverte une question centrale : une méthode mathématique est-elle concevable pour mesurer les émotions ?
Ce n'est certainement pas par hasard si l'exposé le plus intéressant sur la possibilité d'une approche mathématique de l'art fut formulée par un artiste, Max Bill. En 1949, l'artiste suisse écrivait : " Est-il besoin de dire que, pour moi, une approche mathématique de l'art ne s'identifie nullement à quelque ingénieux système de calcul reposant sur des formules toutes prêtes ? En ce qui concerne la composition cependant, on peut affirmer que toutes les écoles artistiques jusqu'ici ont eu des fondations plus ou moins mathématiques. (...) De même que les mathématiques nous apportent un moyen de connaissance primordial, et nous permettent donc d'appréhender notre environnement physique, de même certains de leurs éléments essentiels nous fournissent des lois pour évaluer les interactions entre objets ou groupes d'objets. Et du coup, il est naturel de passer de la reconnaissance du fait que ce sont les mathématiques qui donnent sens à ces relations, au désir de les représenter" (9).

L'attention des mathématiciens pour les qualités esthétiques de leur discipline est remarquable ; d'où l'idée de quelques-uns de comparer des activités somme toute assez semblables. La créativité serait l'un des facteurs qui rapprochent mathématiques et art, plus généralement art et science. Paul Feyerabend, dans son essai " Creatività : fondamento delle scienze e delle arti o vacua diceria? " a écrit : " La créativité est de nos jours très populaire : on la cherche partout et naturellement on la trouve partout. Ainsi, dans le domaine de la science, toujours plus nombreuses sont les voix de ceux qui attribuent les connaissances scientifiques les plus significatives, non à l'application graduelle d'une méthode rigoureuse, mais plutôt à d'audacieuses intuitions. N'ayez pas peur de la science, crient à un vaste public les apôtres de la créativité professionnalisée ; la diffusion de la science ne risque pas d'avoir pour conséquence de dessécher le monde et de le réduire en formules arides, tant il est vrai que la grande science n'est pas si différente du grand art" (10).

-La créativité qui expliquerait tout risque de ne rien expliquer. Il s'agit de savoir si la créativité du mathématicien peut l'amener à inventer un monde nouveau ou à découvrir un monde qui lui préexiste. Roger Penrose a consacré une partie de son livre The Emperor's New Mind à ce sujet " En mathématiques, faut-il parler d'invention ou de découverte ? ", s'interroge-t-il (11). Deux réponses sont possibles : lorsque le mathématicien obtient de nouveaux résultats, il réalise des constructions mentales élaborées, qui, même si elles n'ont aucun lien avec la réalité physique, possèdent une telle élégance et une telle puissance par elles-mêmes qu'elles font croire au chercheur que les pures constructions mentales ont une réalité. Ou bien les mathématiciens découvrent que ces pures constructions mentales sont déjà là ("already there"), vérités dont l'existence est complètement indépendante de leurs élaborations. L'opinion de Penrose est qu'en mathématiques se produisent des situations pour lesquelles le terme de découverte est plus approprié que celui d'invention, les résultats, dans certains cas, dérivant essentiellement de la structure même, davantage que des contributions des mathématiciens (12).

-On peut formuler des distinctions analogues pour les arts et pour les technologies. Des artistes sont convaincus que leurs oeuvres les plus importantes manifestent des vérités éternelles, ayant une existence a priori, tandis que d'autres moins importantes ont un caractère plus personnel, plus arbitraire, et sont des constructions mortelles. Une oeuvre d'art peut être appréciée ou discutée selon les époques, mais personne ne peut mettre en doute la démonstration correcte d'un résultat mathématique.
Penrose précise que, de façon très explicite, les mathématiciens pensent leur discipline comme une activité qui n'a rien à envier à la créativité des artistes, supérieure même par l'unicité et l'universalité de la création mathématique. Art difficile, fatigant, avec son langage et son symbolisme, qui produit des résultats universellement acceptés (13).

Le rôle de l'ordinateur

Pendant les dernières années, l'usage d'ordinateurs toujours plus élaborés, munis d'outils graphiques, a changé la manière de travailler des mathématiciens, au moins pour un nombre significatif d'entre eux. En particulier, les techniques d'infographie ont été utilisées, non seulement afin de visualiser des phénomènes déjà connus, mais, d'une manière plus intéressante, pour comprendre comment résoudre des problèmes encore mal connus. Dans certains cas spécifiques, ces techniques ont fourni à la récherche mathématique une voie nouvelle pour prouver des résultats.
Gabriele Lolli a souligné que depuis 1979, nous devons rapprocher les mathématiques des autres sciences naturelles en reconnaissant plus qu'auparavant une familiarité de méthode et de comportement. Un aspect important de cette réinterprétation est " le procès de conjecture et d'expérimentation qui produit des résultats mathématiques... Une large confirmation de l'importance de ces aspects est fournie par "l'expérience mathématique". L'ordinateur est paradoxalement le personnage important pour cette réévaluation de l'aspect expérimental de la recherche, de l'exploration dégagée des lourdes contraintes d'une rigide trame de règles. Paradoxalement, parce que le rôle joué par les ordinateurs dans cette nouvelle phase est très contradictoire. En effet, des contradictions naissent dès que l'on commence à penser aux conséquences de l'impact des ordinateurs sur les mathématiques, sur les relations des mathématiques avec les autres disciplines, et sur la place des mathématiques dans le monde moderne. L'ordinateur est devenu un instrument qui permet de faire en mathématiques des expérimentations d'une manière et d'une dimension complètement nouvelles" (14).
Pourquoi, pour Lolli, l'année 1979 est-elle le point de départ de cette nouvelle discussion sur les fondements philosophiques des mathématiques ? C'est qu'en 1979, fut publié l'article de R. Hersh " Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics " (15), et deux ans plus tard, le livre de P. J. Davis et R. Hersh The Mathematical Experience (16). L'un de ces chapitres est intitulé : " Why Should I Believe a Computer ? ". Les deux auteurs évoquent l'événement exceptionnel de 1976 : l'annonce de preuve d'un nouveau théorème de mathématiques pures par Appel et Haken (17), la " conjecture des quatre couleurs ", dans les colonnes du New York Times. Cette publication était importante pour deux raisons. " Avant tout, le problème était très fameux... et la méthode de la preuve intéressante en elle-même. Pour une grande part, les calculs furent exécutés par un ordinateur, mais les passages intermédiaires des programmes n'étant pas publiés, les preuves étaient en définitive et par principe incomplètes" (18).
Davis et Hersh ont souligné " qu'en mathématiques appliquées, l'ordinateur sert à calculer une réponse approximative, lorsque la théorie est incapable de donner une réponse exacte... La théorie dépend sûrement de l'ordinateur dans ses conclusions ; alors, les deux méthodes, théorique et mécanique, sont comme deux vues indépendantes d'un même objet, le problème consistant à les coordonner... La rigueur mathématique de la preuve n'est pas contaminée par la machine. Quant au théorème des quatre couleurs de Haken-Appel, la situation est complètement différente. Ils présentent leur travail comme une preuve complète, définitive, rigoureuse... Du point de vue du philosophe, l'usage pour une part essentielle d'un ordinateur dans l'établissement de la preuve implique un affaiblissement de la rigueur des démonstrations mathématiques. Il introduit un scepticisme, et ainsi il change de manière capitale la situation où des conclusions certaines ne laissaient précédemment aucune place au doute. "
Davis et Hersh pensaient aux ordinateurs rapides, capables de faire des milliers de calculs en un temps très bref. Un chapitre de leur volume est consacré à l'intuition de la quatrième dimension. Une première tentative pour étudier des objets à quatre dimensions par infographie fut réalisée et décrite par Michaël Noll, en 1967, dans une brève publication intitulée " Displaying n-Dimensional Hyperobjects by Computers ". Il écrivait à propos de deux types de mathématiques, les projections d'hyperobjets tridimensionnels et les rotations n-dimensionnelles : " Au début, on pensait que le film fourni par l'ordinateur permettrait la visualisation des quatre dimensions spatiales... Malheureusement cela ne fut pas possible et nous sommes encore dans l'attente, comme les habitants de Flatland (19) d'une visualisation de dimensions spatiales plus élevées " (20).
Ce qui était techniquement impossible à Noll, devint possible pour T. Banchoff et C. Strauss, de Brown University, à la fin des années 70. Ils eurent l'idée de se servir d'animations infographiques pour étudier les propriétés géométriques et topologiques des surfaces tridimensionnelles et regarder des objets à quatre dimensions bougeant dans un espace tridimensionnel. Ils montrèrent que l'infographie interactive, en temps réel, donne la possibilité à un mathématicien-chercheur d'étudier directement les propriétés géométriques de courbes et surfaces soumises à des transformations dans un espace à trois et à quatre dimensions. Banchoff et Strauss produisirent, au moyen de l'animation sur ordinateur un film en 16 mm, intitulé The Hypercube : Projections and Slicing (21). Les idées qu'on utilise pour étudier la troisième dimension peuvent être généralisées à des dimensions quelconques : " Avec la quatrième dimension, il est possible de gagner visuellement une quantité considérable d'intuition géométrique, en interprétant les projections des sommets et des arêtes du 4-cube dans l'espace tridimensionnel" (22).
Cette approche de l'usage des ordinateurs, toute nouvelle pour la recherche mathématique, permet de construire une surface sur l'écran, de la déplacer et de la transformer, afin de mieux connaitre ses propriétés. Elle est devenue une nouvelle façon de construire des modèles, et une bonne incitation.
L'infographie ne sert pas seulement à visualiser des phénomènes connus, mais aussi à étudier d'une façon nouvelle des problèmes mathématiques, en particulier de géométrie. On peut dire que ces dernières années s'est développée une nouvelle branche des mathématiques, qu'on peut appeler la mathématique visuelle (23). En 1987, à Brown University, un groupe de mathématiciens, dont Thomas Banchoff, a réalisé grâce à l'ordinateur un film d'animation sur l'hypersphère. Deux d'entre eux ont écrit : " Dès que cette importante technologie est devenue disponible, les mathématiciens ont reconnu le potentiel de l'infographie comme nouveau moyen d'exploration" (24).

L'infographie : art et mathématiques

Herbert W. Franke croit que les critiques d'art des siècles à venir auront des opinions très différentes de celles des experts contemporains, étant donné que, probablement, " les peintres et les sculpteurs aujourd'hui très appréciés seront jetés aux oubliettes et que l'on parlera de l'avènement des moyens électroniques de communication comme d'un tournant décisif pour le destin de l'art. Ainsi les premières et timides tentatives de représentation picturale effectuées avec les nouveaux outils auront leur juste reconnaissance. Le moment historique actuel sera mentionné comme celui où furent réalisées, avec une précision photographique, des images tridimensionnelles de paysages imaginaires et de décors qui, pour la première fois, permettaient de capturer la réalité du mouvement et du changement " (25).
Franke parle de l'art informatique, en pensant aux images fractales obtenues par les mathématiciens Peitgen et Richter (26). Penrose considère l'ensemble de Mandelbrot comme un exemple stupéfiant de la manière dont la pensée humaine est guidée vers une vérité éternelle qui ne se revèle qu'à l'un d'entre nous. L'ensemble de Mandelbrot a une structure tellement élaborée qu'elle n'a pu être inventée par une seule personne, ni par un groupe de mathématiciens.
La géométrie des fractales se présente comme la géométrie la plus appropriée pour étudier la complexité des formes de la nature et leur évolution. Dans un article (27), quelques auteurs des images fractales les plus suggestives ont affirmé que la géométrie fractale décrit les formes et les configurations de la nature d'une façon non seulement plus concise, mais esthétiquement plus valide que la géométrie euclidienne. En outre, cet article souligne que la correspondance entre fractales et théorie du chaos est le signe d'une relation profonde : " La géométrie fractale est la géométrie du chaos. " Les fractales seraient le langage même de la géométrie.
Sans aucun doute, les outils fractals aident à mieux comprendre quelques-uns des phénomènes naturels, mais les mathématiciens ne s'accordent pas tous sur les recherches privilégiant l'aspect visuel de la géométrie fractale. Dans son article " Fractal Geometry " (28), S. G. Krantz écrit notamment qu'entre géométrie fractale et calcul différentiel, la différence importante est que " la géométrie fractale n'a résolu aucun type de problème ". Mais il rappelle qu'aucune discussion sur les fractales ne serait complète sans un hommage aux images : " Elles sont superbes et sont apparemment la raison d'être de tout ce qu'on a dit sur les fractales. Les images des ensembles de Julia et de Mandelbrot sont stupéfiantes de complexité et de diversité. Malgré cela, je n'accepte pas l'assertion que l'ensemble de Mandelbrot soit l'objet mathématique le plus complexe jamais vu ! Ce genre d'exagération peut fasciner les lecteurs de magazines, mais il sonne faux pour l'expert mathématicien. " La question vraiment importante que pose Krantz est alors la suivante : " Je voudrais faire une distinction entre l'infographie des fractales et ses autres applications récentes qui ont contribué d'une façon essentielle à la résolution de problèmes encore ouverts. "
Etant donné qu'il s'agit d'une géométrie qui a produit beaucoup de nouvelles images, ceux qui les ont créées ne pouvaient qu'empiéter sur le domaine de l'art. Dans The Beauty of Fractals, Peitgen et Richter ont présenté la théorie mathématique mais aussi des illustrations, non comme simple prétexte de leur activité créatrice, mais comme oeuvres d'art. Le mathématicien se propose lui-même comme artiste, sans médiations. " Science et art, deux façons complémentaires de se mettre en relation avec la réalité naturelle : analytique et intuitive. Considérées comme diamétralement opposées, parfois inconciliables, elles sont intimement liées ; dans son effort pour résoudre toute la complexité des phénomènes en quelques lois fondamentales, le chercheur est lui-même un visionnaire, pas moins que celui qui, aimant la beauté, se plonge dans la richesse des formes, se sentant partie prenante de l'éternel devenir" (29).
Benoît Mandelbrot ajoute : " Je crois pouvoir affirmer que la contribution de la géométrie fractale à la science et à l'art est absolument originale" (30). Les fractales sont donc langage de la nature, mais aussi de l'art, ou mieux, une nouvelle forme d'expression automatique de l'art. Elles sont le résultat d'une manipulation complexe à la fois mathématique et esthétique. Cependant, il me semble que les images liées à la résolution d'importants problèmes mathématiques sont beaucoup plus intéressantes ; elles ont contribué à ouvrir de nouveaux domaines de recherche et permis la naissance de nouvelles formes de l'imaginaire mathématique-artistique.

L'infographie : recherche mathématique et artistique

La découverte par William Meeks et David Hoffman de nouveaux types de surfaces minimales est un exemple intéressant du recours à l'infographie, qui a été essentiel pour obtenir une preuve formelle de l'existence de nouvelles surfaces. David Hoffman et ses collègues ont décrit leur découverte : " En 1984, Bill Meeks et D. Hoffman ont prouvé qu'il existait un quatrième exemple satisfaisant tous les critères : minimalité, complété, immersion et simplicité topologique. Le nouvel exemple avait été décrit par Costa (31). Cependant, les équations ne montraient pas de manière visible si la surface satisfaisait ou non à ces critères. Nous avons résolu les équations, puis, grâce aux programmes graphiques élaborés par J. Hoffman, nous avons pu voir la surface selon différents angles et constater qu'elle était symétrique... Ceci a permis une analyse des formules définissant la surface et nous fûmes alors capables de prouver que celle-ci était vraiment symétrique. En utilisant cette symétrie, nous avons prouvé que la surface pouvait être décomposée en huit parties congrues, une par octant. Ceci nous a permis de nous concentrer sur des parties plus petites et de démontrer que chacune de ces parties, comme la surface tout entière, satisfaisait aux critères. L'infographie nous a donc permis de vérifier l'existence d'un nouvel exemple satisfaisant à tous les critères requis. L'ordinateur nous a guidé pendant la construction d'une démonstration formelle, il a fourni un instrument possédant une compréhension tellement profonde des caractéristiques qu'il peut construire une infinité d'exemples nouveaux " (32).
Dans le cas du nouveau type de surface minimale, les mathématiciens ont pu donner une preuve formelle. Je me souviens qu'en mai 1988, à Berkeley, le fameux mathématicien J. C. C. Nitsche, après avoir vu les merveilleuses images produites par Hoffman et ses collègues, demanda : " Mais êtes-vous capables de démontrer tout cela ? " (33). Ils furent capables d'en donner la preuve formelle, mais que serait-il arrivé s'ils ne l'avaient pas été ?
On dit souvent que l'art du futur dépend des nouvelles technologies, en particulier de l'infographie. Depuis quelques années, grâce à l'infographie, un nouveau secteur des mathématiques s'est développé. Dans les problèmes où la visualisation joue un rôle important, les mathématiciens ont obtenu des images dont le charme esthétique a touché des gens qui ne sont pas directement intéressés par les questions scientifiques qui ont produit ces images (34).
Une exposition sur les fractales est intitulée " Frontiers of Chaos ", voyage à travers les institutions scientifiques et artistiques du monde entier ; un autre exemple d'exposition d'art et de mathématiques est " Getting to the Surface ", une collection d'images engendrées sur ordinateur par Meeks et Hoffman. Abstraction faite de l'intérêt mathématique, les images des nouvelles surfaces minimales sont tellement "belles" que David Hoffman a dit, lors d'une interview : " Cette collaboration entre art et science a produit des choses significatives pour les deux domaines. " Il est intéressant aussi de noter le titre de l'article : " Math-Art " (35). Plusieurs artistes, comme Stewart Dickson, ont utilisé la surface de Costa-Hoffman-Meeks comme modèle pour leurs oeuvres (36).
Un autre exemple est donné par le " Renaissance Team ", groupe interdisciplinaire d'artistes et de mathématiciens travaillant au National Center for Supercomputing Applications (NCSA), à Urbana, E. U. Une artiste, Donna Cox, a récemment décrit l'activité du groupe, dont l'un des projets intéressants était la recherche de l'"homotopie Romboy", déformation de la surface "romaine" de Steiner en la surface de Verner Boy, découverte par le mathématicien F. Apery en 1984. George Francis, le topologiste, Donna Cox et Ray Idaszak ont réalisé un film d'animation sur ordinateur de l'homotopie Romboy. La première image a été appelée Vénus étrusque, étrusque parce que la surface romaine en dérive ; pour comprendre le nom Vénus, il suffit de regarder son image. En concluant son article, Donna Cox écrit : " La visualisation en plusieurs dimensions est bien documentée soit dans l'art soit dans la science... Les ordinateurs sont une aide pour mettre en rapport les talents des artistes et des savants" (37) (38).

***

J'aimerais conclure en citant de l'article de Hoffman et de ses collègues : " Pourquoi les mathématiciens sont-ils intéressés par les images ? Nous avons souligné nos suppositions : les images engendrées par ordinateur nous permettent d'observer de nouveaux phénomènes mathématiques, souvent inattendus. On peut explorer des exemples de phénomènes connus plus riches, plus complexes, on peut observer de nouvelles structures. On peut établir des connexions plus faciles et plus avantageuses avec d'autres disciplines. "
Deux autres mathématiciens, F. Almgren and J. Sullivan, qui travaillent à la visualisation des "géométries de bulles de savon" pour le Geometry Supercomputing Project à l'Université du Minnesota, ont écrit : " Le rapide développement de l'infographie est particulièrement excitant pour les mathématiciens. Elle nous permet de visualiser d'une façon nouvelle des objets mathématiques connus depuis longtemps. Les outils de calcul peuvent aussi apporter de nouvelles découvertes mathématiques, dont l'émergence exigeait une compréhension plus profonde que la seule visualisation des structures géométriques. Le calcul et le tracé par ordinateur changent la façon de faire des mathématiques. Les capacités d'un ordinateur d'engendrer des images et la recherche de méthodes artistiques pour exprimer une vision mathématique sont très importantes au moment où nous construisons les nouvelles mathématiques sur les bases de connaissances de plusieurs millénaires. "39,40
Les ordinateurs ont fait naître de nouveaux problèmes pour les mathématiciens, qui ont peut-être besoin d'une nouvelle philosophie ; l'infographie pourrait être le futur langage unifiant l'art et la science ; en tous cas, les artistes devront aussi aborder l'impact des nouvelles technologies sur leurs oeuvres. Peut-être auront-ils besoin de comprendre mieux les mathématiques. Sinon, les mathématiciens seront-ils les artistes de l'avenir ?
***


Légendes des illustrations:

H. P. Manning, Hypercube, in Geometry of Four Dimensions, 1914

Fred Almgren et John Sullivan, Bulle de savon réalisant la projection stéréographique d'un hypercube (infographie)

Max Bill, Ruban sans fin pour trois positions, cuivre chromé, 1974-1975


Notes:

1. G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press, New York, 1940, p. 85.
2. François Le Lionnais éd., Les grands courants de la pensée mathématique, Librairie scientifique et technique A. Blanchard, Paris, 1962, pp. 457-458.
3. René Thom, " Local et global dans l'oeuvre d'art " dans De la Catastrophe, Centre d'art contemporain, Genève, 1982, p. 42.
4. Morris Kline, Mathematics in Western Culture, Oxford University Press, New York, 1953, p. 523.
5. George K. Francis, " On Knot-spanning Surfaces " dans M. Emmer éd., Visual Mathematics, numéro spécial, Leonardo, Pergamon Press, Oxford, vol. 25, n. 3/4, 1992 ; M. Emmer, La perfezione visibile, Theoria, Rome, 1991 ; M. Emmer ed., The Visual Mind: Art and Mathematics, The Mit Press, 1993.
6. Anatoly T. Fomenko, Mathematical Impressions, American Mathematical Society (AMS), Providence, 1990.
7. Ugo Volli, " Matematica e valori estetici ", dans U. Volli ed., La scienza e l'arte : nuove metodologie di ricerca scientifica sui fenomeni artistici, Mazzotta, Milano, 1972, pp. 179-199.
8. George D. Birkhoff, " A Mathematical Approach to Aesthetics " , Scientia, 1931 ; " Mathematics : Quantity and Order ", Science Today, 1934. Réédité dans Collected Mathematical Papers, New York, 1950.
9. Max Bill, " Die mathematische Denkweise in der Kunst unserer Zeit ", Werk, nĝ 3, 1949 ; en anglais dans M. Emmer ed., The Visual Mind : Art and Mathematics, The MIT Press, 1993.
10. Paul Feyerabend, " Creatività : fondamento delle scienze e delle arti o vacua diceria? " dans P. Feyerabend et C. Thomas eds., Arte e Scienza, Armando editore, Roma, 1989, pp. 132-133.
11. Roger Penrose, The Emperor's New Mind, Oxford University Press, New York, 1989.
12. Jean-Pierre Changeux, Alain Connes, Matière à penser, Odile Jacob, Paris, 1989.
13. Voir aussi M. Emmer, La perfezione visibile : arte e matematica, Theoria, Roma, 1991.
14. Gabriele Lolli, " Una filosofia per la matematica d'oggi ", Quaderni PRISTEM nĝ 1, novembre 1990, Università Bocconi, Milano, pp. 131-157.
15. P. Hersh, " Some Proposals for reviving the Philosophy of Mathematics ", Advances in Mathematics, vol. 31, 1979, pp. 31-50.
16. P. J. Davis et R. Hersh, The Mathematical Experience, Birkhäuser, Boston, 1981.
17. K. Appel et W. Haken, " The Four-Color problem ", dans L. A. Steen ed., Mathematics Today, Springer-Verlag, New York, 1978, pp. 153-190.
18. Voir note 16, pp. 380-386.
19. Edwin A. Abbott, Flatland : a Romance of Many Dimensions, Seeley and Co., London, 1884. Voir aussi Linda D. Henderson, The Fourth Dimension and non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton University Press, Princeton, 1983.
20. M. Noll, " A Computer Technique for Displaying n-Dimensional Hyperobjects ", Ass. for Computing Machinery, ACM, nĝ 10, 1967, p. 469.
21. C. Strauss et T. Banchoff, Hypercube, film, 16 mm., animation informatique, Brown University, Providence, E.U., 1978. Voir M. Emmer, " Lo spazio tra matematica ed arte ", in G. Macchi ed., Spazio, Catalogo della sezione, ediz. La Biennale, Venezia, 1986, pp. 37-39.
22. C. Strauss et T. Banchoff, " Real-Time Computer Graphics Analysis of Figures in Four-Space ", dans D. W. Brisson ed., Hypergraphics: Visualizing Complex Relationships in Art, Science and Technology, Amer. Ass. for the Advancement of Science, nĝ 24, Washington, 1978, pp. 159-167. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension. Geometry, Computer Graphics and Higher Dimensions, Scientific American Library, New York, 1990.
23. M. Emmer ed., " Visual Mathematics ", numéro spécial, Leonardo, Pergamon Press, vol. 25, n. 3/4, 1992.
24. H. Koçak et D. Laidlaw, " Computer Graphics and the Geometry of S3 ", The Mathematical Intelligencer, vol.9, nĝ 1, 1987, pp. 8-11.
25. Herbert W. Franke, " Refractions of Science into Art ", in H.-O. Peitgen & P. H. Richter eds., The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. 181-187.
26. H.-O. Peitgen & P. H. Richter eds., The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1986.
27. H. Jürgens, H.-O. Peitgen & D. Saupe, " Il linguaggio dei frattali ", Le Scienze, nĝ 266, ottobre 1990, pp. 42-49.
28. S. G. Krantz, " Fractal Geometry ", The Mathematical Intelligencer, vol. 11, nĝ 4, automne 1989, pp. 12-16.
29. Voir note 26, p. 1.
30. B. B. Mandelbrot, " Fractals and the Rebirth of Iteration Theory ", dans référence 26, pp. 151-160.
31. C. Costa, " Example of a Complete Minimal Immersion in R3 of Genus One and Three Embedded Ends ", Bull. Soc. Bras. Mat., 15, 1984, pp. 47-54.
32. M. J. Callahan, D. Hoffman and J. T. Hoffman, " Computer Graphics Tools for the Study of Minimal Surfaces ", Comm. ACM, vol. 31 nĝ 6, 1988, pp. 648-661.
33. Workshop on Differential Geometry, Calculus of Variations and Computer Graphics, MSRI, Berkeley, May 23-25, 1988.
34. M. Emmer, " Soap Bubbles in Art and Sciences : from the Past to the Future of Math Art ", Leonardo, vol. 20 nĝ 4, 1987, pp. 327-334.
35. J. Hooper, " Math-Art ", Omni Magazine, avril 1986, pp. 88-91.
36. S. Dickson, " True 3D Computer Modeling : Sculpture of Numerical Abstractions ", dans référence 23.
37. D. J. Cox, " Using the Supercomputer to Visualize Higher Dimensions: an Artist's Contribution to Scientific Visualization ", Leonardo, vol. 21 nĝ 3, 1988, pp. 233-242. Voir aussi G. Francis, A Topological Picture Book, Springer-Verlag, Berlin, 1987.
38. Voir M. Emmer ed., L'occhio di Horus, Rome, Istituto Enciclopedia Italiana, 1989, catalogue de l'exposition " L'occhio di Horus : Itinerari nell'immaginario matematico ", Italie, janvier-juillet 1989.
39. F. Almgren et J. Sullivan, " Visualization of Soap Bubble Geometry ", dans référence 23.
40. Sur les bulles de savon dans l'art et la science, voir M. Emmer, Bolle di sapone : un viaggio tra arte, scienza e fantasia, La Nuova Italia ed., Firenze, 1991, et " Des bulles de savon aux radiolaires ", Alliage nĝ 13, automne 1992, pp. 79-87.




[Up]