[Alliage] [Up] [Aide] [Help] [Science Tribune]

ALLIAGE


Alliage, numéro 24-25, 1995


Alexandrie était à Alexandrie


Que nous disent de la Méditerranée les mathématiques ?


Karine Chemla




Alexandrie était à Alexandrie. Autrement dit : Euclide et ses Eléments de géométrie - ce classique mathématique qui devait faire plancher Bagdad, Orange, Oxford, et puis Boston - ont tous deux laissé leur nom, sur les côtes de la Méditerranée, entre les bras du Nil. Je crois pourtant que lorsque nous pensons mathématiques, nous faisons surtout regarder Alexandrie vers Athènes, que nous envisageons à son tour dans sa relation avec le Nord, l'Europe. Tout se passe comme si l'épaisseur des siècles créait en un même point de la carte des lieux différents, que des récits historiques pouvaient dès lors reconfigurer en des géographies symboliques, distinctes selon les temps. Pourtant, la géographie physique nous le suggère : Alexandrie était à Alexandrie. Qu'est-ce à dire ?

La Méditerranée comme cadre de référence

Le hasard veut que quelques morceaux de papyrus rédigés en grec, touchant aux mathématiques et à l'astronomie, aient survécu aux injures du temps en Egypte. Pareils documents sont notre seule lumière sur une activité scientifique hellénistique que nous ne connaîtrions sinon, au mieux, que par les éditions byzantines des IXe et Xe siècles. David Fowler, qui depuis des années nous rappelle sans relâche à cette évidence, a eu l'attention tout particulièrement attirée sur l'un d'entre eux qui répond - papyrus et tablettes partagent le même sort onomastique - au doux nom d'Hibeh i 27. Voici donc quelques pages qui nous arrivent tout droit d'environ l'an 300 avant notre ère, soit de l'époque à laquelle on convient usuellement de situer la rédaction, dans cette même région du Nil, des fameux Eléments de géométrie. Or, ce qu'elles nous disent est assez détonnant. L'auteur annonce qu'il résumera là en grec ce qu'un sage de Sais lui a expliqué, entre autres en matière d'astronomie. Suit la description d'un calendrier égyptien, dont les données numériques fractionnaires sont retranscrites à l'aide d'une transposition grecque du système de notation également égyptien. On ne peut s'y tromper, ces fractions sont uniques au monde : elles se caractérisent par le fait de se présenter comme des sommes de fractions de numérateur 1 - c'est du moins la description que l'on peut en donner aujourd'hui, alors qu'elles ont disparu, supplantées comme elles l'ont été par cet autre concept de fraction que constitue le couple d'un numérateur et d'un dénominateur. Et des papyrus égyptiens que l'on date du XVIIIe siècle avant notre ère permettent de reconstituer des techniques singulières, à l'oeuvre dès cette époque, pour les manipuler. Continuité remarquable, ces fractions typiques sont donc encore présentes quelque quinze siècles plus tard dans un papyrus grec. Sommes-nous confrontés à un simple hapax ? Point du tout. à bien y regarder, tout morceau de papyrus grec où nous pouvons aujourd'hui lire la transcription de fractions adhère à cette manière de faire égyptienne. Et ceci jusque fort tard, puisque le long Papyrus d'Akhmîm, dont on situe la réalisation entre les VIe et XIIIe siècles de notre ère, élaborant dans cette direction mathématique, se révèle appartenir à la même tradition textuelle et arithmétique. Dans tous ces écrits, insistons-y, on trouve autant des notations et des calculs à l'égyptienne que l'enregistrement des outils arithmétiques nécessaires à leur menée, tables de calcul dont la confection semble continuer à faire l'objet de travaux jusque tard dans la période hellénistique. Ces documents ne nous parlent donc pas seulement de la retranscription de ce que tel ou tel Egyptien a pu raconter. La tradition dont ils témoignent se poursuit activement en grec. Tant et si bien que Wilbur Knorr, constituant l'ensemble de ce corpus mathématique sans distinction de langue, a pu récemment éclairer rétrospectivement certaines zones d'ombre de notre savoir relatif à la réalité des calculs égyptiens en s'appuyant sur la continuité de méthode que ces fragments grecs présentent avec eux.

Le simple fait de la continuité ne doit pas être pour nous surprendre : le même phénomène se reproduit plusieurs centaines de kilomètres plus loin, lorsque les techniques mathématiques paléobabyloniennes, attestées entre les XVIIIe et XVIe siècles avant notre ère, resurgissent, après ce que notre vide documentaire donne comme un silence, à l'époque séleucide, dans les siècles autour des débuts de l'ère commune. Pourquoi notre cas apparaît-il plus étonnant ? Est-ce parce qu'il implique une traduction vers le grec ? Ou qu'il semble inscrire la mathématique grecque, au moins pour partie, dans un horizon égyptien ? Les multiples références grecques au savoir égyptien auraient pourtant dû nous y préparer. Platon n'évoque-t-il pas dans ses écrits cette région même de Sais, ne donne-t-il pas en exemple l'éducation de ces jeunes Egyptiens, formés autant à la lecture qu'aux calculs ? Peut-être les décennies passées à élaborer tout ce en quoi les Grecs étaient le début de toute science, tout ce en quoi ils se démarquaient de tout ce qui les précédait, ont-elles fini par manquer de nous faire oublier... qu'Alexandrie était à Alexandrie. La perspective de rupture a encouragé à penser un fossé là où les choses se présentaient aussi sous les traits de la continuité.
D'aucuns ont pu être tentés de circonscrire le fait. L'argument est classique : ces calculs pratiques, qui apparentent intellectuellement certains Grecs aux Egyptiens, ne sauraient être placés de plain-pied avec les aspects théoriques par lesquels la mathématique grecque se démarque de toute autre tradition. Entendez, par exemple, le système axiomatico-déductif sous la forme duquel Euclide coule le savoir géométrique et qui arrime l'Alexandrie mathématique aux rivages de la Grèce antique. Certes, Euclide semble en la matière hériter de courants de travaux qui se sont épanouis dans la péninsule. Mais cet aspect est loin de rendre compte du contenu théorique du traité de l'Alexandrin dans son intégralité : ne faut-il pas également émettre l'hypothèse que l'angle conceptuel retenu dans ces livres dits arithmétiques pour traiter des nombres et les questions posées à leur sujet, comme Maurice Caveing en élabore l'argument, puisent leur inspiration dans les techniques de travail égyptiennes ? Les conséquences en sont simples : les mathématiques grecques ne sauraient se servir de seul contexte à elles-mêmes ; il faut aussi, pour en saisir pleinement les développements, pour se donner les moyens d'en comprendre les genèses, les considérer dans leurs relations avec les recherches égyptiennes en la matière. Non pas seulement, nous l'avons vu, pour ce qui est de leurs aspects pratiques, mais également en ce qui concerne leurs options conceptuelles. L'inverse n'en est pas moins vrai : nous gagnons en compréhension à considérer les travaux égyptiens dans la perspective de leur poursuite grecque. Otto Neugebauer a fait sien depuis des décennies ce programme de travail, quand il tente plus systématiquement d'inscrire les recherches grecques astronomiques et mathématiques dans le contexte plus large des traditions anciennes de la région, la mésopotamienne et l'égyptienne, entre Bagdad et Alexandrie. La question se posait depuis longtemps. Les progrès radicaux que notre connaissance des travaux babyloniens et égyptiens a effectués au cours de ce siècle permettent de la mettre à l'ordre du jour de manière réaliste.

Voici donc un bout de la carte méditerranéenne reconfiguré. Mais le problème, beaucoup plus général, se repose à chaque époque et sur plusieurs de ses portions. Nombre de développements scientifiques ont eu lieu aux alentours de ces côtes, des traditions s'y sont relayées, déplacées, rencontrées, mélangées... Et les considérer chacune pour elle-même, dans la perspective d'un futur européen et dans un cadre géographique abstrait, remodelé par tel ou tel a priori, c'est se priver des moyens de comprendre la dynamique des sciences, c'est également se priver des moyens d'envisager l'impact du carrefour méditerranéen dans la constitution du patrimoine scientifique de l'humanité. Tel était le programme de travail auquel Roshdi Rashed invitait voici dix ans le milieu de l'histoire des mathématiques.

La mer du milieu des terres et l'Empire du milieu

Les mathématiques en Méditerranée ont vu s'épanouir des traditions différentes, lesquelles se trouvèrent transcrites en de multiples langues. Favorisées en cela par les fluctuations des empires, par la redistribution incessante des terres, par la circulation des centres, leurs élaborations se sont promenées, transformées, rencontrées, accumulées, synthétisées, éliminées, sédimentées. C'est ainsi que les textes arabes poursuivent les efforts d'Euclide et d'Archimède, font place aux calculs égyptiens, et évoquent les travaux babyloniens. Le voyageur qui a fait l'expérience du Moyen-Orient se rappellera ce sentiment d'avoir constamment sous les pieds des dizaines de siècles d'histoire internationale.
Malgré la diversité donc, une certaine forme de persistance des questions et des manières de faire anciennes, une certaine sorte de relais, se font jour. Mais cette poursuite impliqua en l'occurrence une condition : qu'aient été réalisées de tous temps de multiples traductions. L'on sait qu'effectivement le grec devint syriaque, arabe, latin, que le syriaque et jusqu'au sanskrit devinrent arabe, que l'arabe devint hébreu, latin, catalan, que le latin à son tour fut allemand, castillan, italien, français... C'est pour beaucoup ainsi que purent s'effectuer ces mélanges de traditions de travail élaborées en des temps et en des lieux distincts. Pour ne citer qu'un exemple des alliages qui furent ainsi produits, évoquons les débuts de l'algèbre, chez les Arabes, au IXe siècle. Leurs résolutions d'équations quadratiques rappellent les solutions babyloniennes. Ils plongent cependant ces algorithmes dans un contexte euclidien, en produisant des démonstrations en forme qui les inscrivent au sein des Eléments de géométrie. Et ils impriment de surcroît un progrès radical à la discipline en proposant de considérer les équations pour elles-mêmes, en toute généralité et donc plus seulement dans le contexte particulier de problèmes.

Ainsi, les rives de la Méditerranée bruissent-elles de traductions et de mélanges. Il n'en a cependant pas été partout ainsi : l'Asie de l'Est donne une figure bien différente de la poursuite d'une activité mathématique. La constitution de l'Empire chinois, au IIIe siècle avant notre ère, s'est accompagnée d'une uniformisation de la langue écrite. Alors se trouvait arrêtée une écriture qui devait jouir d'une remarquable stabilité. S'il peut arriver aujourd'hui encore qu'un Pékinois et un Cantonais ne puissent converser, il leur suffit d'une feuille de papier, et ils pourront s'entendre... par écrit. Le phénomène déborde par ailleurs des frontières de l'Empire du milieu. La Corée, le Japon, ont adopté à différents moments de leur histoire l'écriture chinoise pour noter leurs langues, pourtant radicalement différentes. Les conséquences en sont les mêmes : répétez l'expérience avec un Japonais et un Chinois, et vous pourrez les voir s'entretenir par écrit.
Ce simple fait eut un impact radical sur l'histoire des sciences en ces régions. L'ouvrage qui devait devenir le classique fondateur de la tradition mathématique chinoise, Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques, élaboré aux temps des débuts de l'ère commune, pouvait être lu sans qu'il y eût besoin de traduction jusqu'à l'orée du XXe siècle dans l'aire d'écriture chinoise. Les érudits les plus remarquables de l'âge d'or de la mathématique chinoise s'y réfèrent tous, sans médiation. Et lorsque l'activité mathématique s'intensifia notablement dans le Japon du début du XVIIe siècle, les acteurs purent bénéficier directement des textes chinois qui s'étaient frayés un chemin jusque-là, et poursuivre certaines des pistes qui s'y trouvaient ouvertes ; Annick Horiuchi en a décrit les différents moments. Précisons cependant deux points. Tout d'abord, que les textes soient lisibles sans traduction n'implique pas qu'ils aient été compréhensibles à première lecture, ni même à seconde. Reprendre sans médiation les élaborations techniques d'écrits nécessite de retrouver l'entrée du dédale de leurs concepts. Les Japonais du XVIIe siècle eurent autant de mal à décoder certains textes chinois du XIIIe siècle que les Européens éprouvèrent de difficultés à décrypter les traductions latines d'Euclide. Par ailleurs, que l'on se garde d'en conclure à l'aspect monolithique de la mathématique chinoise : certaines époques attestent de développements différenciés et indépendants, à ce qu'il semble, en des endroits différents de l'Empire. Il reste cependant que la région méditerranéenne et l'Asie de l'Est témoignent de différences marquées pour ce qui concerne la circulation, l'accessibilité et l'organisation des écrits.

Est-ce en raison d'une histoire différente de la traduction dans l'Empire du milieu ?, les écrits mathématiques chinois conservés restent silencieux jusque très récemment sur de grands pans de mathématiques qui s'étudièrent sur les côtes de la Méditerranée : la géométrie à la manière grecque, dont les travaux se sont ensuite poursuivis en arabe, les propriétés des nombres requises par le calcul égyptien, étudiées en grec puis en arabe, ou des pans entiers d'approche des équations. C'est du moins ce que les documents filtrés par l'histoire nous donnent, aujourd'hui à voir. à cela, deux exceptions, qui confirmeraient la règle. La diffusion du bouddhisme en Chine, dès le début de l'ère commune, s'accompagne de l'établissement de centres de traduction du sanskrit essentiellement tournés, semble-t-il, vers la mise à la disposition du public chinois de textes religieux. Or, sans qu'on puisse aujourd'hui préciser les détails de cette histoire, la mathématique chinoise des premiers siècles de notre ère présente des similarités relativement notables avec ce que nous pouvons connaître des premiers écrits mathématiques indiens. Beaucoup plus tard, l'arrivée des missionnaires européens en Chine sera l'occasion, dès le début du XVIIe siècle, d'un nouveau mouvement de traduction. Conjuguant les efforts de divers ordres religieux et de Chinois, il produira en version chinoise non pas seulement des textes théologiques, mais également des ouvrages de mathématiques, au nombre desquels, apparemment pour la première fois, les Eléments de géométrie du même Euclide. Il s'ensuivra un mouvement de synthèse entre sources chinoises et européennes, dont les détails ne sont pas sans rappeler notre histoire méditerranéenne. Un récit cependant mettra en valeur la complexité de la situation d'alors, tout en nous ramenant à la dimension internationale de la Méditerranée.

Circulations internationales

à l'instar des différentes cultures qui ont déployé leurs activités autour d'elle, la Méditerranée ne peut être appréhendée comme un cadre refermé sur lui-même. Fernand Braudel reprend à Lucien Febvre, pour souligner ce point, l'examen de la flore qu'il est loisible d'y rencontrer aujourd'hui. Pas plus qu'Hérodote, comme Febvre le met en scène, ne reconnaîtrait les arbustes extrême-orientaux, apportés par les Arabes, les plantes venues d'Amérique, ou les arbres australiens que les paysages méditerranéens ont acclimatés, Euclide ne saurait trouver familiers les objets ouvrés disponibles en Asie de son temps et drainés beaucoup plus tard vers ses rives.

Prenons la mesure de ces circulations et des phénomènes qui les accompagnent, prenons l'exemple de la règle de fausse double position. Peu nous importe en l'occurrence son contenu concret, il nous suffit de savoir ici qu'en l'absence de techniques algébriques, le Moyen âge l'utilisa abondamment pour résoudre nombre de problèmes pour lesquels nous effectuerions aujourd'hui un petit calcul symbolique. On la rencontre pour la première fois, selon notre documentation actuelle, dans le classique mathématique chinois que nous évoquions plus haut, Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques. Elle est élaborée là de manière telle qu'elle peut être employée pour résoudre des problèmes de deux natures, radicalement différentes. Retenons simplement le fait, sans entrer dans les détails de ce qui les distingue - un appendice à cet article essaie de satisfaire la curiosité de ceux qui ne pourraient s'en tenir là. Sa transmission en Chine suit les aléas du développement des mathématiques dans l'Empire du milieu. Toujours est-il qu'après avoir été connue pour la résolution des deux types de problèmes encore au XIIIe siècle, la connaissance s'en fait par la suite plus parcellaire. Ainsi, au moment où les missionnaires arrivent fin XVIe siècle aux portes de la Chine, elle n'est plus guère associée qu'aux problèmes de la première sorte. Autant pour la transmission en caractères chinois. On le voit déjà, transmettre peut aussi être trahir.
Du côté de l'Ouest, on la retrouve pour la première fois à Bagdad, à la fin du IXe siècle, dans les écrits de Qus?ae ibn L?qae. Son caractère intriqué laisse supposer qu'il s'agit là d'une transmission plutôt que d'une réélaboration ex nihilo. Et le fait qu'elle reste absente des sources mathématiques que l'Inde a conservées permet d'imaginer un contact plus ou moins direct entre la Chine et les pays de langue arabe. L'histoire des mouvements de traductions n'épuiserait donc pas le tout, ce serait trop simple, des questions de transmission. De sa réoccurrence dans les écrits de Qus?ae, nous retiendrons deux points. Comme cela se passa, nous l'avons vu, avec les équations quadratiques, la règle s'y retrouve interprétée géométriquement, pour pouvoir faire l'objet d'une démonstration qui l'inscrive dans le contexte de la pratique euclidienne. Dans nombre d'écrits arabes où on la retrouvera dans les siècles à venir, et ce jusqu'au Maghreb, ce trait persistera. Mais, par ailleurs, QusÂ' n'emploie la règle qu'en relation avec des problèmes de la seconde des sortes qu'envisageait notre classique chinois. Et cela reste vrai non seulement des traitements arabes ultérieurs, mais également des mentions européennes à venir. Car dès le XIIIe siècle, après l'avoir vue se répandre d'Est en Ouest, on la voit monter vers le Nord, essentiellement par la filière des traités marchands. C'est d'abord l'Italie, puis le Sud de la France, jusqu'enfin l'Allemagne et les Pays-Bas au XVIe siècle. Là, et de manière constante, elle n'est donc associée qu'au second type de problème, tandis que disparaît l'environnement démonstratif euclidien. Une innovation se fait cependant jour au long de cette transmission : des marques se voient associées aux nombres que la règle implique, lesquelles joueront plus tard un rôle dans l'élaboration des nombres positifs et négatifs en Europe.

Ce parcours autour de la Méditerranée, puis vers le Nord, est représentatif à plus d'un titre. Il souligne par ailleurs l'importance des transformations qui accompagnent les transferts : certaines mutilent l'objet transmis, d'autres l'enrichissent au contraire, d'autres encore conjuguent un peu des deux. Il montre enfin l'enjeu qu'il y a à vouloir considérer la Méditerranée dans son contexte international. Il ne s'agit là pas tant de rendre à César ce qui lui appartient que de mieux pouvoir apprécier les événements qui concluent notre histoire. En effet, la règle étant disponible dans l'Italie du XVIe siècle, Clavius la retravaille pour l'inclure dans le manuel d'arithmétique qu'il prépare comme matériau d'enseignement à l'intention des collèges jésuites. Or, lorsque des missionnaires de cet ordre, tel Matteo Ricci, se lancent dans la traduction de textes mathématiques à destination d'un public chinois, ils choisissent tout naturellement de transmettre leurs manuels de cours à l'Empire du milieu. C'est ainsi que le lettré collaborant avec Ricci en la matière, Li Zhizao, se voit confronté à deux règles similaires, chacune appliquée à la résolution d'un type de problème différent : l'une qu'il trouve dans les sources chinoises à sa disposition, l'autre qui lui est apportée d'Europe avec le label "occidentale". S'il reconnaît leur parenté mathématique, il ne parvient pas à saisir quels liens véritables unissent les deux méthodes, pas plus qu'il n'a les moyens de retracer les linéaments de l'histoire qui les fait échouer sur sa table. Et il en conclut... à la supériorité de la règle occidentale ! La Méditerranée avait concentré des connaissances qui se trouvèrent alimenter l'idée que le monde se faisait de la supériorité de l'Europe. Telles étaient, telles sont encore, les conséquences d'une appréhension partielle du passé des mathématiques.



Bibliographie

- Karine Chemla, "De la synthèse comme moment dans l'histoire des mathématiques", Diogène, 160, 1992, pp. 97-114.
- Karine Chemla, "Reflections on the world-wide history of the rule of false double position, or : how a loop was closed", Centaurus, 1996, à paraître.
- Paul Benoit, Karine Chemla, Jim Ritter (coordonné par), Histoire de fractions, fractions d'histoire, Birkh- user, 1992.
- Fernand Braudel (sous la direction de), La Méditerranée. L'espace et l'histoire, Arts et métiers graphiques, 1977, repris par Flammarion, 1985.
- Maurice Caveing, La constitution du type mathématique de l'idéalité dans la pensée grecque. Thèse, 1977, reproduit sous la forme de 3 volumes en 1982 par l'Atelier national de reproduction des thèses, université Lille III. Le premier volume, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Egypte anciennes, est paru aux Presses universitaires de Lille, 1994.
- Lucien Febvre, "Les surprises d'Hérodote ou les acquisitions de l'agriculture méditerranéenne", Annales, 12, 1940, pp. 29-32.
- David Fowler & E. G. Turner, "Hibeh Papyrus i 27: an early example of Greek arithmetical notation", Historia Mathematica, 10, 1983, pp. 344-359.
- Annick Horiuchi, Les mathématiques japonaises à l'époque d'Edo : Une étude des travaux de Seki Takakazu (?-1708) et de Takebe Katahiro (1664-1739), Librairie philosophique J.Vrin, 1994.
- Jean Itard, Les livres arithmétiques d'Euclide, Hermann, 1961.
- Wilbur Knorr, "Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece", Historia Mathematica, 9, 1982, pp. 133-71.
- Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, seconde édition corrigée, Dover Publications, 1969. Pierre Souffrin en a donné une traduction française : Les sciences exactes dans l'Antiquité, Actes-Sud, 1990.


La règle de fausse double position

Le premier des deux types de problèmes que cette règle permet de résoudre demande, à partir de deux suppositions a et a' concernant successivement, disons, la somme que chaque individu d'un groupe consacre à un achat, et du montant qui respectivement reste (b) ou manque (b') pour acheter une chose donnée, de déterminer le prix de la chose et le nombre d'individus. Donnons-en à titre d'exemple le problème 1 du chapitre intitulé "Excédent et déficit" dans Les neuf chapitres :
"Supposons que l'on ait un achat en commun de quelque chose, et que, si chacun paie 8, il y ait 3 d'excédent, si chacun paie 7, il y ait 4 de déficit. On demande respectivement le nombre de personnes et le prix de la chose."
Soit en termes modernes :
Etant donné ax = y + b, a'x = y - b', trouver x et y.

Le second type de problème, quant à lui, n'implique pas de suppositions dans son énoncé. En voici un exemple :
"Supposons que l'on ait un muret de 9 chi de hauteur, depuis le sommet duquel pousse un melon, lequel croît d'une longueur de 7 cun par jour, et depuis la base duquel pousse une gourde, laquelle croît d'une longueur de 1 chi par jour. On demande au bout de combien de jours ils vont se rencontrer et quelles seront alors respectivement les longueurs du melon et de la gourde."
La solution propose de faire successivement deux suppositions, a et a', sur la valeur possible du nombre de jours et, tournant l'énoncé en algorithmes pour le calcul des diverses grandeurs qui y interviennent, de comparer la somme des longueurs de melon et de gourde respectivement produites pendant ces durées de temps à la hauteur concrète du mur. Ce dont elle excède le mur (b) ou manque à le couvrir (b') donneront l'excédent et le déficit.
En termes modernes, si j'appelle A l'algorithme déduit de l'énoncé du problème et qui calcule la somme des longueurs de melon et de gourde produites en un nombre de jours donné, la situation peut se représenter de la manière suivante :
Sachant que A(a) = 9 + b et que A(a') = 9 - b', trouver x tel que A(x) = 9

Dans le premier problème, suppositions, excédent et déficit lient les inconnues. Dans le second, les suppositions portent sur les inconnues, ce à la suite de quoi on confronte les conséquences à la situation réelle et on en déduit les inconnues.
La règle de fausse double position propose, pour les deux problèmes, la suite d'opérations suivantes - à effectuer, dans le cas du second type de problèmes, après avoir calculé excédent et déficit pour deux suppositions données :
- Multiplier en croix les suppositions, d'une part, l'excédent et le déficit, d'autre part, et sommer les résultats, ce qui donne ab' + ba'.
- Sommer excédent et déficit, ce qui donne b + b'.
- Dans le cas du second type de problème, la division donne l'inconnue, soit x = (ab' + ba')/(b + b').
- Dans le cadre du premier type, soustraire la plus grande des suppositions de la plus petite, ce qui nous donne (a - a').
- Diviser par cette valeur (ab' + ba' fournit y.
- Diviser par cette valeur (b + b')fournit x.

Comparons ce que produisent les mêmes calculs dans les deux contextes :
dans le temps des calculs communs :
I. A (a) = 9 + b I. ax = y + b
A(a') = 9 - b' a'x = y - b'
bA(a) = 9b' + bb' ab'x = y b' + bb'
bA(a') = 9b - bb' a'b x = yb - bb'
A(a) + bA(a') = 9(b + b') (ab' + ba')x = y(b + b')

à partir de ce point, les calculs divergent pour les deux types de situations :
II. A [(ab' + ba')/(b + b')] = 9
III. De plus (a - a')x = b + b', d'où x = (ab' + ba')/(b + b'),
d'où x = (b + b')/(a - a'), y = (ab' + ba')/(a - a').


[Up]