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ALLIAGE


Alliage, numéro 23, 1995


La géométrie de Dürer, un exercice pour la main et un entraînement pour l'oeil


Jeanne Peiffer



" Il signe Albertus Dürer Noricus (de Nuremberg) ou Dürer Alemanus. Il souligne son enracinement, mais ses frondaisons s'étendent au loin. " C'est ainsi qu'André Chastel caractérisait, en 1971, lors de la célébration du cinq centième anniversaire de la naissance d'Albrecht Dürer (le 21 mai 1471 à Nuremberg) le lien de celui-ci avec sa ville natale. C'est en effet son fort enracinement dans le tissu social des classes aisées et cultivées de Nuremberg qui lui a permis de s'épanouir et d'être reconnu en tant que peintre, alors qu'il lorgna plus que quiconque, et avec une incommensurable nostalgie, par-delà les frontières (Wölfflin) à la recherche du soleil d'Italie et des fortes impulsions artistiques qu'il y avait reçues.

Nuremberg et l'humanisme scientifique

Nuremberg était, à la fin du XVe siècle, l'une des villes les plus florissantes de l'Allemagne. Ses marchands avaient établi des liens solides avec les principales villes d'Europe, et notamment d'Italie du Nord. Ses artisans étaient réputés pour leur travail du métal, orfèvres comme le père d'Albrecht Dürer, mais aussi faiseurs d'instruments. La précision de ces instruments n'avait pas sa pareille, à l'époque de Dürer. C'est la raison qui a poussé un savant comme l'astronome et mathématicien Regiomontanus à choisir, en 1471, Nuremberg comme domicile et à y installer une presse d'imprimerie afin d'en sortir non seulement ses propres écrits, mais également les textes anciens purgés des inexactitudes et erreurs dues aux copistes. Ses éphémérides étaient très recherchées. Ainsi, Christophe Colomb en possédait un exemplaire, qu'il a sans doute utilisé lors de ses voyages.
Nuremberg était aussi un important centre du livre. C'est dans la collaboration entre graveurs sur bois, comme Michael Wolgemut, dans l'atelier duquel Dürer a fait son apprentissage, et imprimeurs, comme Anton Koberger son parrain, que le livre illustré a pu s'y développer pleinement. En témoigne une réalisation prestigieuse, la célèbre Chronique de Schedel, du nom de son auteur, vaste encyclopédie cosmographique, illustrée de plus de 600 gravures sur bois. Financé par deux mécènes nurembergeois, ce Liber chronicarum (1493) fut imprimé par Koberger, qui fit graver deux nouveaux types de caractère, l'un pour l'édition latine, l'autre pour la traduction allemande qui suivit aussitôt. Toutes les compétences de Nuremberg se sont mobilisées autour de cette entreprise unique à plus d'un égard. Dürer, apprenti alors dans l'atelier de Wolgemut, a pu lui aussi y mettre la main.
Le patriciat de Nuremberg, relativement attentif aux nouveaux développements artistiques et littéraires, s'est progressivement ouvert à la culture humaniste, même si Jacob Burckhardt a pu dire de Willibald Pirckheimer, patricien de vieille souche, humaniste pur sang formé dans les universités italiennes et ami intime de Dürer, qu'il vivait à Nuremberg un peu comme un oiseau de paradis. Sous son influence, l'humanisme a même timidement fait son entrée dans les programmes des écoles de latin. Mais à Nuremberg, celui-ci s'est surtout allié à l'intérêt des patriciens, des érudits et des artisans pour les sciences et l'innovation technique. La nouvelle conception du savoir que véhicule l'humanisme a épousé à Nuremberg une orientation nettement scientifique et pratique. Regiomontanus a fourni le modèle du savant lettré, attentif à l'authenticité des textes, mais aussi aux résultats de l'expérience et à la qualité des instruments. C'est dans son sillage qu'a pu s'épanouir, à Nuremberg, une culture scientifique rare, sinon unique, dans l'Allemagne de l'époque, et dont témoigne encore au XVIe siècle, avec une admiration à peine cachée, Pierre de la Ramée. Dans les Scholae mathematicae (1569), il célèbre la cité de Nuremberg pour ce qu'elle paie de professeurs de mathématiques, non seulement celui qui fait cours aux savants et aux lettrés, mais aussi celui qui enseigne en langue vernaculaire aux artisans ignorant le latin et le grec. Ce parti pris pour les sciences s'exprime aussi dans les programmes des éditeurs nurembergeois, qui comprennent une part importante de livres scientifiques, dont des ouvrages célèbres comme l'Ars magna de Cardan ou le De revolutionibus de Copernic. Ceux-ci constituaient aussi une composante non négligeable des exceptionnelles collections et bibliothèques que se constituaient les lettrés de la ville. Ainsi, celle de Hartmann Schedel forme le noyau des fonds de la Bibliothèque publique de Bavière (Bayerische Staatsbibliothek).

Retour de Venise

Dürer (1471-1528), peintre et graveur formé dans les ateliers du Moyen âge, a pu bénéficier de cette ouverture tout humaniste sur la culture scientifique. Confronté, lors de ses deux séjours vénitiens (1494-1495 et 1505-1507), aux aspirations des peintres italiens vers une libéralisation de leur art, fasciné par leur théorie esthétique, il adopte leur programme : fonder la peinture sur des connaissances géométriques. Conscient de la revalorisation du statut du peintre qu'implique le passage, pour la peinture, d'un art mécanique à un art libéral, il s'emploie, avec toute la force créatrice qui lui est propre, à faire adopter ce programme au Nord des Alpes. " Ah ! Combien je me languirai du soleil. Ici, je suis un gentilhomme, là-bas, dans le froid, un parasite ", écrit-il de Venise à Pirckheimer.1 En parcourant, par exemple, la correspondance de Pirckheimer avec ce que l'humanisme comptait d'excellences en Europe (Conrad Celtis, Philippe Melanchthon, Erasme de Rotterdam, etc.), il apparaît que Dürer y est fréquemment mentionné et pleinement accepté par ces lettrés, qui, dans leurs écrits, rendaient hommage à son oeuvre, et dont il gravait les portraits. Aux côtés de Pirckheimer, Dürer était étroitement associé aux cercles d'humanistes et de savants, qui se réunissaient dans les belles demeures patriciennes de Nuremberg. Il semble avoir eu accès à leurs bibliothèques, celle notamment constituée par Regiomontanus, enrichie par l'astronome Bernhard Walther et dont il a même pu acquérir, en 1510, quelques exemplaires " utiles aux peintres ". Dürer pouvait ainsi disposer de collections parmi les plus riches de l'Allemagne renaissante. Pour remédier à son ignorance des langues latine et grecque, il avait recours au travail collectif en se faisant traduire en allemand certains passages d'Euclide ou de Vitruve, et en consultant ses amis astronomes, architectes et géomètres (Johannes Werner, Tschertte, Nikolaus Kratzer, etc.). Et si Dürer était incapable de comprendre les textes classiques à la lettre, il a su s'en approprier le substrat mathématique - à sa manière, en le modifiant, en le concrétisant et en le matérialisant.
C'est sans doute après le retour de son second voyage à Venise que Dürer a sinon commencé du moins intensifié ses études théoriques. Il projetait de rédiger, à l'intention des jeunes apprentis peintres, une vaste encyclopédie en trois parties : une première sur le choix d'un apprenti et ses dispositions, une autre sur l'exercice de la peinture (théorie des proportions, mesure de l'homme, du cheval et du bâtiment, la perspective, le tracé des ombres, la théorie des couleurs) et une dernière, plus pratique, sur le métier de peintre. Dans les notes manuscrites, que Dürer a laissées et qui ont été magistralement publiées par Hans Rupprich dans les trois volumes de Dürers schriftlicher NachlaŠ (1956-1968), on trouve plusieurs ébauches et plans de ce que Dürer intitulait entre autres " Nourriture des jeunes peintres ". Ce projet, trop vaste pour pouvoir aboutir, a débouché, entre 1525 et 1528, sur la publication de trois ouvrages, rédigés en allemand, dont un manuel de géométrie, intitulé Instructions pour la mesure à la règle et au compas (1525), un traité sur les fortifications (1527) et les fameux Quatre livres sur les proportions du corps humain (1528), qui devaient être le couronnement de son oeuvre théorique. Si le dernier de ces ouvrages a été traduit en français dès le XVIe siècle, le premier a dû attendre la dernière décennie du nôtre.2 Et pourtant, les efforts de Dürer pour enfermer le corps humain et ses mouvements dans un système réglé de courbes nous sont aujourd'hui plus étrangers que certains de ses résultats mathématiques !
Peintre renommé, côtoyant l'élite patricienne et intellectuelle de sa ville, et entré en 1512 au service de l'empereur Maximilien Ier, Dürer a donc senti le besoin de rédiger une géométrie. Il avait, certes, des modèles en Italie - Alberti notamment, mais aussi Leonardo da Vinci, Piero della Francesca - , mais c'est à Nuremberg, et dans ses collections de manuscrits et de livres, qu'il a pu trouver les moyens de mener à bien son entreprise.

Une géométrie pratique

Dürer déplore souvent la perte des arts antiques, que les Italiens ont remis au jour. Il exprime sa souffrance d'être privé des livres des maîtres anciens. Cette perte étant irrémédiable, il se propose de réunir les matériaux dont il peut disposer et de les transmettre aux jeunes apprentis peintres. Il s'adresse donc aux peintres, mais aussi aux charpentiers, tailleurs de pierre et autres artisans. Ceux qui ont étudié les Eléments d'Euclide n'y trouveront rien de neuf, croit-il bon d'avertir au début. Pourtant, c'est tout autre chose qu'une compilation de propositions euclidiennes qu'on trouve dans le corps de son ouvrage. Sa géométrie n'est pas démonstrative, mais constructive. Le but de Dürer est de construire des formes utiles aux artisans, par des procédés faciles à exécuter à l'aide des instruments couramment utilisés, la règle et le compas notamment, et aisément répétables. Il n'y a aucun calcul d'aire ou de volume, si caractéristique des géométries pratiques de l'époque. Dürer y obtient ses résultats les plus originaux, lorsqu'il applique des procédures d'atelier à des objets mathématiques abstraits. Ainsi, en appliquant la méthode de la double projection, familière aux maçons, tailleurs de pierre et architectes, aux sections coniques, il en obtient une construction très originale, dont Gaspard Monge codifiera la méthode, à la fin du XVIIIe siècle, dans sa géométrie descriptive. Concevant, dans la partie consacrée à l'architecture, une colonne torse, Dürer en vient à considérer explicitement l'enveloppe des sphères de rayon constant et ayant leur centre sur une courbe [Instructions pour la mesure, livre III, fig.10].
Dürer insiste de manière répétitive et redondante sur l'utilité de ses constructions. Presque tous les paragraphes se terminent, comme une chanson par un refrain, par l'accent mis sur l'aspect pratique. Ainsi, diverses constructions de spirales sont enseignées, puisqu'elles peuvent servir à dessiner des crosses d'évêques, des chapiteaux de colonnes ioniques ou des feuillages dans l'architecture gothique. Ou encore, Dürer indique la construction originale d'une courbe inconnue par ailleurs, dite utile aux architectes et qui lui sert, d'après des dessins conservés à Dresde, à obtenir le galbe voulu des tours Renaissance. La loi de formation de cette courbe est explicitée : Un segment de longueur constante c se déplace avec l'une de ses extrémités le long d'un axe vertical, de telle sorte qu'un élément de longueur de la courbe qu'engendre sa seconde extrémité soit proportionnel à la distance parcourue sur l'axe vertical.3
L'exemple de la duplication du cube, et l'usage qui en est fait, sont particulièrement révélateurs de l'orientation pratique que Dürer a voulu donner à sa géométrie, mais aussi du style de travail du peintre. Dürer est conscient de l'ancienneté du problème, qui plonge ses racines dans la légende - puisque c'est à la demande d'Apollon et pour sauver la cité de la peste que les Athéniens4 sont dits avoir voulu doubler l'autel cubique. Il répète ce récit, en rendant hommage à Platon pour avoir su indiquer la bonne solution, puis il dit5 : " Comme ce savoir est très utile aux ouvriers, et comme par ailleurs il a été tenu caché et au grand secret par les érudits, je me propose de le mettre au grand jour et de l'enseigner. " En quoi ce savoir est-il utile ? Dürer l'indique : " On pourra faire fondre des bombardes et des cloches, les faire doubler de volume et les agrandir comme on veut, tout en leur conservant les justes proportions et leur poids. De même, on pourra agrandir tonneaux, coffres, jauges, roues, chambres, tableaux, et tout ce que l'on veut. " Il donne trois solutions du problème, celles connues dans la littérature classique6 sous les noms de Sporus, Platon et Héron, et pour cette dernière, il indique même une démonstration. C'est la seule que l'on trouve dans les Instructions pour la mesure à la règle et au compas. Or, des notes préliminaires conservées pour cette partie7, il découle immédiatement que Dürer ne fait que suivre à la lettre un texte mis à sa disposition par l'un de ses conseillers (non encore identifié, mais probablement Johannes Werner, qui dans son Libellus super vigintiduobus elementis conicis, expose les différentes solutions anciennes du problème de la duplication du cube). L'apport propre de Dürer consiste, en ce qui concerne cet exemple particulier, dans les applications qu'il propose (et encore ne fait-il qu'exploiter une remarque d'Eratosthène rapportée par Eutocius). En effet, il part d'une série de 4 cubes dont le deuxième est le double du premier, le troisième le triple et le quatrième le quadruple, puis il enseigne à en déduire des séries de cubes conservant entre eux la même proportion 1:2:3:4. Le poids, pour un même métal, étant proportionnel au volume, Dürer peut ainsi obtenir une série de boulets de canon, dont le poids augmente continûment d'une livre. Cet exemple illustre l'aisance, avec laquelle Dürer sait plier un problème classique comme la duplication du cube aux besoins de l'armurerie et de la production en série d'un armement standardisé.

Du géomètre à l'artiste

Pour terminer, j'aimerais insister sur un autre aspect de la démarche de Dürer, propre à souligner la complexité de sa conception de la géométrie. Paradoxalement, alors qu'il insiste constamment sur l'utilité pratique des formes enseignées, et qu'il se propose plus spécifiquement d'appliquer les lois mathématiques à la peinture, il ne saisit pas toujours lui-même l'occasion de le faire. Ainsi, dans le Traité des proportions du corps humain, il se propose, au Livre I, de déterminer l'emplacement du genou en prenant pour la cuisse (de la hanche au genou) la moyenne proportionnelle entre la longueur du torse (de la base du cou à la hanche) et celle du jarret (du genou à la cheville). Mais au lieu de recourir, comme on aurait pu s'y attendre, à la construction euclidienne mise en oeuvre au Livre II des Instructions pour la mesure, il prône l'usage d'un instrument de sa confection, le "Vergleicher" - ou compasseur dans le français du traducteur du XVIe siècle - qui repose sur des principes faux8 et ne peut donner de résultats corrects.
Cette attitude, pour troublante qu'elle puisse paraître, est en fin de compte conforme à sa conception de la géométrie, telle qu'elle s'exprime dans ce qu'il est convenu d'appeler "l'excursus esthétique" du livre 3 du Traité des proportions du corps humain, dans les manuscrits (publiés par Rupprich) et dans la mystérieuse gravure Melencolia I.
Dürer est conscient de l'impuissance de la géométrie à décrire les formes vivantes et naturelles. Le corps humain, ne serait-ce que dans ses contours, ne peut être décrit par les droites et cercles de la géométrie euclidienne. Il faut une géométrie plus fine, qu'il entrevoit éventuellement avec Luca Pacioli dans l'approximation de formes complexes par des solides non réguliers à un nombre croissant de côtés, obtenus par des troncatures successives des angles des polyèdres platoniciens. Mais la géométrie, à la certidude inéluctable, est un idéal d'essence divine inaccessible à l'homme. Le savoir géométrique dont celui-ci peut disposer est nécessairement limité. Il ne faut pas pourtant y renoncer. Dürer, avide de savoir, rejette cette idée avec véhémence. Il exprime sa passion en des termes très simples et émouvants : " Savoir quelque chose est bien. Car on en devient plus semblable à l'image de Dieu, qui sait tout. "9 Même si notre intelligence est trop limitée pour parvenir à la vérité, nous pouvons l'aiguiser par l'étude et l'exercice. L'art de la mesure est alors une espèce de propédeutique pour le peintre. Il dote l'oeil d'un juste sens des proportions et exerce la main, dispensant l'artiste de toujours tout mesurer. Erasme exprime cette idée dans les termes suivants10 : " De même que ceux qui sont versés dans la musique prononcent plus clairement, même quand ils ne chantent pas, ainsi celui qui a les doigts exercés à tirer des lignes pour réaliser toutes sortes de figures, tracera des lettres11 avec plus de bonheur et de flexibilité. "
On peut lire les Instructions pour la mesure de Dürer comme une géométrie appliquée aux arts. Dès qu'il s'agit cependant de dessin et de peinture, comme dans les proportions du corps humain, le rapport d'application devient à la fois plus intime et plus distant. La géométrie n'est plus antérieure à la peinture, mais elle en est constitutive. La pratique de la géométrie permet de reconnaître et d'exécuter, dans un tableau, les justes proportions, porteuses de beauté. Au point que l'apprentissage de la géométrie, conférant au peintre un jugement sûr et une assurance intérieure, le libère. Il sait intuitivement recréer les proportions justes, sans avoir à appliquer les strictes règles de la mesure.


[à paraître : Albrecht Dürer, Géométrie, traduit et présenté par Jeanne Peiffer, Seuil, collection "Sources", 1995]


Légendes :

Portrait d'un architecte, dessin de Dürer, 1506, Berlin, Kupferstichkabinett (cf. Erwin Panofsky, La vie & l'art d'Albrecht Dürer, Paris, Hazan, 1987, p.175)

Figure anthropométrique extraite du Traité des proportions du corps humain (1527)

La courbe utile aux architectes, Instructions pour la mesure, livre I, fig. 28, et une application aux tours Renaissance : par exemple : Album de Dresde, fol. 182r publiée par Rupprich 3, tab.76.



1 Lettre datée du 13 octobre 1506, publiée par Hans Rupprich, Dürers schriftlicher NachlaŠ, tome 1, Berlin 1956, p. 59.
2 Albrecht Dürer, De la proportion des parties des corps humains, trad. par Louis Meigret, Paris 1557 ; Instruction sur la fortification des villes, bourgs et châteaux par A. Durer 1527. Trad. de l'allemand, précédé d'une introduction historique et critique par Alexandre-Félix Ratheau, Paris 1870.
3 Mathématiquement, la courbe ainsi obtenue est définie par une équation différentielle (1+y'2)1/2 = k d/dx[y-(c2-x2)1/2), ce dont Dürer n'a évidemment pas conscience.
4 Dans la légende, ce sont les habitants de Délos qui sont concernés, alors que Dürer parle d'Athéniens.
5 Instructions pour la mesure, livre IV, fig.44
6 Dans le commentaire d'Eutocius sur la sphère et le cylindre d'Archimède, par exemple. Cf. Archimède IV. Commentaire d'Eutocius et fragments. Texte établi et traduit par Charles Mugler, Paris, Les Belles Lettres, 1972
7 Notes publiées par Hans Rupprich, op. cit., tome 3, Berlin 1968, p.354-367
8 Le Vergleicher consiste en un triangle rectangle, dont un des côtés de l'angle droit est divisé en trois parties égales. Dürer admet que pour une sécante fh quelconque
fg / gi = gi / ih.
Or, dans une projection, le birapport se conserve :
(gf/gi) / (hf/hi) = (dc/de) / (bc/be) = (1/3)
On a donc de fait fg / gi = 1/3 (hf / ih).
9 Rupprich, op. cit. 2, p.106
10 Erasme, Dialogus de recta latini graecique sermonis pronunciatione, Bâle 1528, traduction française dans Erasme, Laffont, collection "Bouquins", p.411/12.
11 Erasme se réfère ici au tracé géométrique des lettres enseigné au livre III des Instructions pour la mesure.


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