ALLIAGE

Alliage, numéro 19, 1994

Promenades mathématiques dans Venise

Michele Emmer

Henry James écrivait que puisqu'il n'est pas interdit de parler pour ceux qui aiment Venise, elle en offre un éternel prétexte. Car même s'il n'y a plus rien à dire de nouveau, l'ancien est meilleur qu'une quelquonque nouveauté.

Chacun croit avoir avec Venise un rapport exclusif, privilégié. Chacun pense que ces ponts, ces calli, ces recoins, sont là pour lui, qu'ils ont été découverts par lui pendant que tous les ignorent.
Chacun a un souvenir particulier lié à cette ville sur l'eau. Très différente est l'idée de ceux qui habitent Venise. Depuis quelques années, j'enseigne à l'Université Ca' Foscari à Venise et j'y vis. Pourtant, je ne suis pas complètement un foresto, comme disent les Vénitiens, un étranger. Moi aussi, comme tous les voyageurs, je crois posséder des lieux et des images de la ville, à moi seul.
Entre 1976 et 1990, j'ai réalisé dix-huit films de la série "Art et mathématiques" dont quelques uns ont été partiellement tournés à Venise. Comme il s'agissait de cinéma, on devait évidemment partir d'un élément visuel, et je me posais la question : est-ce qu'à Venise existent des objets, lieux ou oeuvres d'art qui peuvent avoir un certain intérêt mathématique ? Oui, et à deux niveaux différents. Ville-théâtre par excellence, il suffit de se promener pour découvrir dans ses structures architectoniques, dans ses palais, dans ses calli et ses campi, des formes géométriques. Certes, cela est vrai de presque toutes les villes italiennes. Cependant, à Venise, il existe des éléments spécifiques particulièrement intéressants pour l'histoire des mathématiques. De plus, quelques-unes de ces oeuvres ont été réalisées par de grands artistes de la Renaissance, on peut donc comprendre qu'il ne soit pas tout à fait insensé de traiter d'art et de mathématiques à Venise.

Des Polyèdres

"Au monde culturel et aux typographes vénitiens, nous devons un grand numéro des editiones principes de textes scientifiques, soit dans les versions médiévales de l'arabe, soit dans les versions humanistes tirées directement du grec." Ainsi que l'écrit Maccagni dans le catalogue de l'exposition La scienza a Venezia tra Quattrocento e Cinquecento. Opere manoscritte e a stampa,1 on connaît le lien profond entre les sciences mathématiques et Venise à la Renaissance. Ce lien concernait aussi les artistes, parmi lesquels figuraient les mathématiciens les plus importants à l'époque. Il suffit d'en citer un : Albrecht Dürer. Symbole de son intérêt pour la géométrie, la gravure Melancolia 1, où est représenté un carré magique dans lequel l'artiste a écrit la date de l'oeuvre : 1514. Dürer a probablement été en contact avec le mathématicien Luca Pacioli, rencontré à Bologne. Luca Pacioli, outre l'écriture de traités de mathématiques, comme la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità 2 publié à Venise en 1494, s'occupa de la gestion financière de la ville lagunaire. Pacioli enseignait, la comptabilité à Venise, en particulier une méthode pour la partie double qui a été suivie pendant des siècles.3 Il fut l'un des élèves de Piero della Francesca, grand artiste et éminent théoricien de la perspective, auteur du célèbre traité sur les solides réguliers De Quinque Corporibus Regolaribus.4
A la fin du Moyen âge, par la redécouverte des mathématiques grecques et en particulier des Eléments d'Euclide, dont Pacioli prépara l'édition imprimée à Venise en 1509, artistes, architectes, artisans s'émerveillèrent, après un long oubli, des solides platoniciens et des polyhèdres dérivés de ces corps. Pacioli incorpora le traité de Piero sur les solides réguliers dans son célèbre livre De Divina Proportione, publié aussi à Venise en 1509.5 L'histoire de la géométrie pendant la Renaissance est indissociablement liée à Venise !
Cet ouvrage, De Divina Proportione, doit beaucoup de sa célébrité aux soixante planches de solides géométriques facte e formate per quella ineffabile mano sinistra a tutte le discipline mathematici accomodatissima del principe oggi fra i mortali, pro prima fiorentino, Leonardo da Vinci. Le portrait de Pacioli exécuté entre 1498 et 1500, peut-être par Jacopo de Barbari, auteur d'un célèbre plan de Venise, est particulièrement intéressant : dans le coin en haut à gauche, est représenté un modèle, peut-être en verre (n'oublions pas que nous sommes à Venise), d'un solide qui correspond à la planche XXXV du De Divina Proportione. Au même moment, pour son premier voyage en Italie en 1494-1495, Dürer arrivait à Venise.
Si Piero della Francesca est considéré par les historiens des mathématiques comme "le peintre-mathématicien et l'artiste par excellence... le meilleur géomètre de son temps", Dürer, lui, est estimé "le meilleur mathématicien". La période vénitienne est fondamentale pour la formation artistique et géométrique de Dürer.6
Bien avant Dürer, était arrivé à Venise Paolo Uccello. Parmi les marqueteries de la basilique San Marco, deux, à caractère géométrique, sont attribuées par Muraro à Paolo Uccello, qui les aurait réalisées en 1425-1430 7 : deux solides de même forme, le premier dans le pavement de l'entrée gauche de la basilique, l'autre, moins connu, au centre de la grande nef, dans une zone non accessible sans autorisation. Il s'agit de deux dodécaèdres étoilés, c'est-à-dire que sur chaque face du solide est élevée une pyramide régulière. C'est Lucio Saffaro,8 artiste aux vastes intérêts mathématiques, qui depuis longtemps travaille sur les polyèdres, qui s'est aperçu le premier de leur présence, en 1970. Saffaro fut étonné qu'aucun mathématicien ne l'eût noté avant lui. Par la suite, il découvre ce polyèdre mentionné, à la page 88 d'un ouvrage de l'historien allemand S. Günther, publié en 1876.9 Avec stupeur, car la découverte mathématique du dodécaèdre étoilé est attribuée à Johannes Kepler. Dans son traité Harmonices Mundi de 1619, bien des années après Paolo Uccello, Kepler décrit en effet un solide qu'il appelle stellarum duodecim planarum pentagonicarum.10
Le dodécaèdre étoilé de Paolo Uccello fut choisi en 1986 comme symbole de la Biennale de Venise dédiée au thème "Art et Science". Récemment, Saffaro a observé sur le pavement de la chapelle de San Pantalon, dans l'église du même nom, deux marqueteries égales, en marbre, malheureusement endommagées, représentant l'autre type de dodécaèdre étoilé qui paraît dans le traité de Kepler. On n'en connaît pas l'auteur jusqu'à aujourd'hui ; est-ce aussi Paolo Uccello ?

Symétrie

Le Palazzo Ducale est l'expression la plus haute de Venise à cette période, l'effort le plus grand de son imagination.
John Ruskin 11

"La symétrie est un vaste domaine, important dans l'art comme dans la nature. La mathématique en est la racine, et il serait bien difficile de trouver mieux pour démontrer comment travaille la pensée mathématique." Ainsi Hermann Weyl concluait-il, en 1951, son brillant essai sur la symétrie en prenant congé du prestigieux Institute for Advanced Study de Princeton. Weyl écrivait : ": L'artiste a-t-il découvert la symétrie dont la nature a pourvu ses créatures, obéissant à ses lois, et a ensuite copié et perfectionné tout ce que la nature présentait dans des réalisations encore imparfaites ? Ou bien, la valeur esthétique de la symétrie vient-elle d'une source indépendante ? Tel Platon, moi aussi, je suis porté à reconnaître dans l'idée mathématique l'origine commune des deux valeurs : les lois mathématiques qui gouvernent la nature sont l'origine des manifestations naturelles de la symétrie, et l'esprit créateur de l'artiste applique, par intuition, ces lois dans l'oeuvre d'art ; je suis prêt toutefois à admettre que l'aspect extérieur de la symétrie bilatérale du corps humain ait été source de stimulation ultérieure dans le domaine artistique."12
Le livre de Weyl est riche d'exemples pris dans l'art, sur lesquels il construit ensuite sa théorie mathématique des groupes de symétrie. Weyl décrit les différents types de transformations symétriques. L'une des premières est la symétrie de translation, et Weyl en prend pour exemple le Palazzo Ducale de Venise. Une visite à Venise laisse toujours des souvenirs et des images évoqués plusieurs années après ! Il est important de souligner qu'il peut exister des structures symétriques insérées dans des modules plus larges, où la symétrie est interrompue, ainsi que des structures symétriques où sont insérés des éléments non symétriques. Alors l'idée même de symétrie se modifie, son sens dépendant de l'aire disciplinaire et du secteur scientifique où elle est utilisée.
Pour preuve qu'il existe des regards différents sur de mêmes éléments de symétrie, on peut choisir, justement, le Palazzo Ducale. Si Weyl en souligne les structures symétriques qui sont sans doute évidentes, Ruskin fait apparaître la rupture de la symétrie. En traitant de la façade côté mer, il observe que : "les deux fenêtres à droite sont plus basses que les quatre autres. Cette disposition est un des exemples les plus remarquables que je connaisse du hardi sacrifice de la symétrie au caractère fonctionnel, qui constitue l'aspect le plus noble de l'art gothique." Des éléments d'asymétrie insérés dans une structure symétrique...
Dans cette grande encyclopédie des motifs décoratifs qu'est The Grammar of Ornament, The Victorian Masterpiece on Oriental, Primitive, Classical, Medioeval and Renaissance Design and Decorative Art, publiée en 1856 par Owen Jones, ne pouvaient manquer les motifs byzantins, et donc les mosaïques et les marqueteries de la basilique San Marco, le pavement en particulier ; en sont reproduites une dizaine, des plus intéressantes. La disposition des motifs sur le pavement de la basilique, que l'on ne peut noter que sur plan, car la plupart sont recouverts afin de les protéger des visiteurs, est elle aussi symétrique avec des éléments non symétriques - et n'oublions pas la symétrie apparente de la place San Marco, qui s'offre au regard à la sortie de la basilique.

Spirales

L'esprit humain fait toujours des progrès, mais ce progrès est en spirale.
Madame de Staël

Quiconque arrive à Venise comprend très vite qu'il n'est pas toujours vrai que la distance entre deux points est la longueur du segment de droite qui les unit. Le chemin le plus court à Venise est toujours tordu, brisé, labyrinthique. "Il n'existe pas une structure labyrinthique naturelle où l'oeuvre de l'homme se soit superposée de façon tellement infime qu'elle est devenue une sorte de lecture initiatique."13 Selon Sinopoli, le fameux chef d'orchestre, la manifestation du sacré à Venise est scellée par le symbole suprême qui la représente, la définit, la détermine et la fixe : la double spirale naturelle du Canal Grande autour de laquelle la ville s'est progressivement construite.
Presque à la fin de la double spirale du Canal Grande, s'élève la basilique Santa Maria della Salute. Le 22 octobre 1630, le Sénat de la République décide de "faire voeu à sa Divine Majesté d'ériger en cette ville et de dédier une église à la très Sainte Vierge, en l'intitulant Santa Maria della Salute".14
La ville est fouettée par la peste, la dernière des épidémies vénitiennes, mais la plus meurtrière.15 Parmi les nombreux projets présentés, fut choisi, non sans conteste, celui de Baldassarre Longhena. Dans sa construction finale le grand dôme est soutenu par des grands modiglioni,qui sont en réalité d'énormes spirales d'Archimède, des grands yo-yos roulés qui soutiennent le grand dôme. Si l'on monte à l'intérieur de la coupole, du haut de la galerie, on observe que le pavement de l'église est composé de familles de spirales entrelacées. Il rappelle immédiatement un objet typiquement vénitien, lié à la trame de nombreuses spirales ; ce que Rosa Barovier Mentasti définit comme "la plus importante invention dans le domaine du verre". En 1527, Filippo Catani demanda le privilège pour l'application "d'une nouvelle invention de travailler dans notre métier, laquelle s'appellera "bandes à des fils retors"". C'est l'acte de la naissance officielle de cette technique raffinée que l'on appelle à Murano filigrana a ' retortoli', par laquelle on obtient un motif de bandes parallèles de fils différemment entrelacés en spirale, faits en lattimo, verre blanc opaque à l'imitation de la porcelaine, ou en verre de couleur.
"L'esprit humain fait des progrès, mais ce progrès est en spirale", aurait écrit Madame de Staël. à Venise, il suffit de monter sur un vaporetto qui parcourt le Canal Grande, pour s'éloigner ou s'approcher du centre de la double spirale : le pont du Rialto. Si le labyrinthe est la structure de la ville, la double spirale du Canal Grande sert, justement, à éviter de s'y perdre. Si, comme l'a écrit Teilhard de Chardin, "la spirale c'est la vie", Venise ne doit pas craindre pour son avenir. En outre, le Département de mathématiques se trouve dans la seconde sinuosité de la grande spirale.

Labyrinthes

Ainsi lors que tu rôdes par ces labyrinthes, tu ne sais jamais si tu poursuis un but ou bien tu fuis de toi même, si tu es un chasseur ou sa proie.
Iossip Brodsky16

"Je me trouvais en quelque point du labyrinthe vénitien et je savais une chose : sa typologie est absolument unique et ne se retrouve dans aucune construction labyrinthique du passé."13 Il n'y a pas de doute que "pour qui est né à Venise, il est difficile d'acquérir une assurance absolue qui élimine tout doute sur les itinéraires à choisir". Si, de plus, l'on doit rejoindre la zone de la place San Marco en partant de la périphérie, la difficulté augmente à cause de la complexité de plus en plus grande des parcours et des choix à faire. à Venise, des labyrinthes, il y en a deux, l'un terrestre et l'autre aquatique, fait de rii et de canali. Il n'est absolument pas évident que les deux labyrinthes soient complémentaires ; au contraire, à pied, il faut se méfier de la direction d'un rio et vice versa. De cette façon, la ville a réalisé avec beaucoup de siècles d'avance l'idée moderne de séparer la circulation des personnes du trafic des marchandises, ce dernier se faisant uniquement sur l'eau.
Les deux niveaux des labyrinthes se rencontrent en plusieurs points ; il est possible de continuer son labyrinthe terrestre sur l'eau, en utilisant une gondola-traghetto. Sinopoli souligne que "l'entrée et la sortie du labyrinthe, dans le cas de la lagune vénitienne, ce n'est pas seulement une façon de voir le monde, ou bien une idée qui prend sa forme dans les représentations symboliques du lagunaire urbain, mais c'est aussi un processus réel et dynamique qui se déroule à l'intérieur du labyrinthe naturel et de celui construit par l'homme". Un processus dynamique par lequel on étudie des modèles mathématiques pour tâcher de prévoir le comportement de l'écosystème de la lagune et d'intervenir pour résoudre les problèmes dus à la pollution et aux marées, le phénomène de l'acqua alta, lorsque le labyrinthe naturel envahit le labyrinthe construit par l'homme et l'efface. à ce moment, la ville devient un labyrinthe unique, une grande spirale d'eau qui divise la ville, s'élargit à se confondre avec la lagune. "Que serait beau le monde, s'il existait une règle pour parcourir les labyrinthes !" Celui qui parle est Guillaume de Baskerville, s'adressant à Adso de Melk, tous deux protagonistes du roman Le nom de la rose..17 On sait que Guillaume devait déchiffrer la forme du labyrinthe de la bibliothèque. Ils auraient eu bien d'autres problèmes, arrivant à Venise sans plan, la nuit, pour se rendre au Palazzo Ducale ! Autre défi que le fil d'Ariane...!

Quelques mathématiciens ont classifié les labyrinthes sans croisements, pendant que d'autres se sont occupés des labyrinthes avec croisements.18 Ils ont découvert des règles mathématiques, qui permettent de les parcourir complètement, dans certaines situations, et réalisé des programmes informatiques des labyrinthes sans croisements. Au vu des très petites dimensions des ordinateurs portatifs, on pourra parcourir les labyrinthes de Venise à l'aide de programmes. Ce sera sûrement un bon test, même si je préfère me promener dans la ville en me laissant aller par les calli et suivre mon chemin selon des signes à déchiffrer.
Erreurs et impasses, allées et venues, mais on a le plaisir d'explorer un labyrinthe toujours nouveau, et qui n'est là que pour nous.

1. C. Maccagni (a cura di), La scienza a Venezia tra Quattrocento e Cinquecento, Venezia 3-15 ottobre 1985, Biblioteca Marciana.
2. Luca Pacioli, Summa de Arithmetica, geometria, Proportioni et Proportionalità , Venezia, 1494.
3. F.C. Lane, Storia di Venezia, Einaudi, Torino, 1978, pp. 168-169.
4. M. Emmer, La perfezione visibile: arte e matematica, Ed. Theoria, Roma, 1991.
5. Luca Pacioli, De Divina Proportione, Venezia, 1509.
6. A. Dürer, Traité de géométrie, traduction et introduction de Jeanne Peiffer, Seuil (coll. "Sources"), Paris, à paraître. Alliage publiera prochainement un article de J. Peiffer sur Albrecht Dürer et les mathématiques.
7. M. Muraro, L'esperienza Veneziana di Paolo Uccello, Atti del XVIII congresso Internazionale di Storia dell'Arte, Venezia, 1955.
8. L. Saffaro, Anticipazioni e mutamenti nel pensiero geometrico, in M. Emmer (a cura di), L'occhio di Horus: itinerari nell'immaginario matematico, Ist. della Enciclopedia Italiana, Roma, 1989, pp. 105-116.
9. S. Günther, Vermischte Untersuchungen zür Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Lipsia, 1876.
10. J. Kepler, Harmonices Mundi Libri V, Linz, 1619.
11. J. Ruskin, Le pietre di Venezia, Mondadori, Milano, 1982.
12. H.Weyl, Simmetria, Feltrinelli, Milano,1975, p. 13-15.
13. G. Sinopoli, Parsifal a Venezia, Consorzio Venezia Nuova, Venezia, 1991.
14. A.S.V. Archivio di Stato di Venezia, Senato Terra, reg. 104., ff. 363v-365 ; Difesa 49-50.
15. A. Niero, "Pietà ufficiale e pietà popolare in tempo di peste", in Venezia e la peste 1348/1797, Marsilio editore, Venezia, 1979, pp. 287-293.
16. I. Brodskij, Fondamenta degli Incurabili, Adelphi, Milano, 1991.
17. U. Eco, Il nome della Rosa , Bompiani, Milano, 1980.
18.W. W. Rouse Ball, H.S.M.Coxeter, Mathematical Recreations & Essays , University of Toronto Press, Toronto, 1974.

Illustrations

Toutes les illustrations ont été réalisées par Matteo Emmer pour le livre de Michele Emmer, La Venezia perfetta , Centro Internazionale della Grafica, Venice, 1993.